Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда
Доц. Кольвах В. Ф., инж. Кольвах Д. В.
Кафедра промышленной электроники.
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)
Разработан алгоритм, сочетающий точность и быстродействие, что позволяет рекомендовать его для практического использования.
Многие задачи расчета электронных схем, теории аппроксимации, теории прогнозирования и т. п. основаны на получении и обращении матрицы Вандермонда:
, (1)
|
2 Труды молодых ученых №4, 2003 |
Особый характер формирования столбцов матрицы v требует возведения в степень чисел сi . Если размер матрицы р достаточно велик, это приводит к плохой обусловленности матрицы. Например, для всех чисел |сi| >1 компоненты последующих строк будут много больше единицы, а для всех чисел |сi| < 1 эти компоненты оказываются много меньше единицы. Поэтому применение стандартных алгоритмов обращения не позволяет получить высокую точность из-за погрешностей обработки чисел в машине.
Существенно лучший результат достигается при использовании разработанной авторами и изложенной ниже последовательности операций.
1. На первом этапе находят общий характеристический многочлен:
. (2)
Обычно этот многочлен уже известен заранее из других этапов решения задачи получения матрицы v. В противном случае для его определения можно воспользоваться формулами Вьета [1] или следующей рекуррентной процедурой:
(3)
2. На втором этапе определяют частный характеристический многочлен для произвольной i-й строки матрицы v -1:
(4)
где
3. На третьем и заключительном этапе находят все элементы i-й строки искомой матрицы v -1 :
(5)
Следует
отметить, что значение характеристического многочлена 
и его коэффициенты 
вычисляются один раз для всей строки с номером
i.
Таким образом, матрица v -1 может быть представлена в следующем виде:
. (6)
Справедливость формулы (6) доказывается перемножением матриц vv -1 = v -1 v в общем виде. В результате получаем единичную матрицу.
Иногда
требуется найти не всю матрицу v -1, а только одну из ее строк. В этом случае определение
частного многочлена 
рациональнее сразу проводить по формулам (3).
Изложенный алгоритм обеспечивает точное обращение матрицы Вандермонда при минимальном количестве операций перемножения-деления. Дополнительное сокращение объема вычислений достигается за счет того, что комплексно-сопряженные компоненты сi и сj исходной матрицы v дают в итоге комплексно-сопряженные строки в матрице v -1.
Следует отметить, что действительный столбец исходной матрицы v дает при обращении соответствующую действительную строку в матрице v -1, а умножение любого столбца на ненулевое число в матрице v приводит к делению на это же число соответствующей строки в матрице v -1 .
Список литературы
1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.
2. Кольвах В. Ф., Кольвах Д. В. Расчет и оптимизация электронных схем. Владикавказ, СКГТУ, изд. "Терек", 1998.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.skgtu.ru/
Дата добавления: 31.08.2009
