Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Cлучаи c бесконечной плотностью заряда ρ физически абсолютно невозможны, но они "появляются" в задачах с точечными зарядами, заряженными нитями и плоскостями. При этом возникают некоторые сложности, а именно: - неограниченность поля и потенциала;
- ρ = ± ∞ - как записать уравнение Пуассона?
-
поле точечного заряда (
):
пытаемся посчитать div, а получается ноль - где же заряд?
-
невозможность наличия каких-либо диэлектриков: если 
,
то любой диэлектрик пробивается.
Преодолеть математическую часть описанных сложностей можно путем записи ρ через δ-функцию. В частности,
|
ρ(x, y, z) |
= |
|
(20) |
|
ρ(x, y, z) |
= |
λ(z)·δ(x)δ(y) –бесконечная нить по оси z (заряд λ(z)) |
|
|
ρ(x, y, z) |
= |
σ(y, z)·δ(x) –бесконечная плоскость yz (заряд σ(y, z)) |
Мы не будем применять такой подход. Вместо этого, мы далее считаем ρ конечной величиной, в то время как заряженные бесконечно тонкие поверхности, нити и точечные заряды рассматриваем отдельно.
Смежная
проблема: бесконечный суммарный заряд и - как следствие - некорректное
поведение потенциала на ∞. Такое происходит в декартовой системе при
ρ = ρ(x) и в цилиндрической (ρ = ρ(r)). В реальной задаче
этого быть не может, т.к. есть ограничение и по другим координатам. В учебных
примерах либо должно быть обеспечен нулевой суммарный заряд 
(
),
или же, понимая некорректность ситуации, необходимо задать φ = 0 в
какой-либо точке не на бесконечности. Примером такой задачи является нахождение
потенциала равномерно заряженного цилиндра.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r
Дата добавления: 15.03.2011
