Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками
Езаова А.Г.
Кафедра теории функций.
Кабардино-Балкарский государственный университет
В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.
Рассмотрим уравнение
(1)
где
m – натуральное число в конечной односвязной области 
, ограниченной
отрезками 
прямых 
соответственно – и характеристиками:
уравнения (1).
Пусть
;
– интервал 
прямой 
;
–
аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при 
, выходящих из
точки 
, с
характеристиками 
и 
соответственно;
(2)
(3)
–
операторы дробного интегрирования порядка -
при 
и обобщенные в смысле Лиувилля производные
порядка при 
, причем
где
– единичный
оператор, а 
– целая часть 
.
Под
регулярным в области решением уравнения (1) будем понимать функцию 
,
удовлетворяющую уравнению (1) в 
, и такую, что
может обращаться в бесконечность порядка ниже 
на концах А и В интервала I.
Задача
Н
. Найти
регулярное в области решение 
уравнения (1), удовлетворяющее краевым
условиям:
, (4)
, (5)
где
,
(5`)
. (6)
Пусть
существует решение задачи 
. Тогда,
регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части 
,
удовлетворяющее данным Коши 
, дается
формулой [1]:
(7)
Удовлетворяя
(7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями 
и 
, принесенное
на из [2]:
, (8)
где
(9)
Из
постановки задачи Н следует, что
функция 
непрерывна в области . Поэтому,
переходя к пределу при 
в уравнении (1) и учитывая граничные условия
(4), получим:
, (10)
. (11)
Решая
задачу (10), (11) относительно 
, окончательно
получим функциональное соотношение между функциями и 
, принесенное
из области 
на :
(12)
Подставляя
в (9) вместо функции 
её выражение (12), получаем :
где
.
Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:
(14)
Следуя [2], преобразуем интегралы:
, 
, 
,
, 
.
В
интегралах 
сделаем подстановки
1)
; 2) 
; 3) 
;
4)
; 5)
соответственно. В результате получим равенства:
,
Подставляя
значения в равенство (14) и делая несложные преобразования,
получаем:
(15)
Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:
(16)
где
обозначено 
(17)
|
2 Труды молодых ученых № 3, 2007 |
(18)
(19)
Введем
вспомогательную функцию 
по формуле :
(20)
Легко
заметить, что функция 
и в точке x=0 обращается в нуль порядка выше e, а
при x=1 может обращаться в бесконечность порядка выше (1-e)
относительно x и (1-x) соответственно. Из равенства (20) однозначно
определяется функция 
:
(21)
Учитывая
значение функции 
из равенства (21), в интегралах в правой части
(16) получаем:
.
Обозначим
. (22)
Тогда окончательно имеем:
.
Аналогично находим, что
,
где
обозначено 
, (23)
; (24)
. (25)
Используя известное тождество [3],
,
где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:
(26)
где сингулярный оператор S задаётся формулой:
,
, 
,
,
, 
, 
– известные функции, ограниченные
соответственно на 0 £
t £
x £
1, 0 £
x £
t £
1, 0 £
x £
1, причем 
, 
.
Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:
, (27)
где
причем ядро 
и функция 
ограниченные соответственно при, 0£
x, t£
1, 0£
x£
1.
Следуя
[2], обозначим через 
– множество функций 
, непрерывных
всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию 
где 
, 
– целая часть 
, 
– целая часть 
[1].
В
работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения
уравнения (27) в классе .
Функция
, определенная
формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8).
После
определения , функция 
задаётся формулой (12). Таким образом, в
области приходим к задаче [6]: найти регулярное в
области решение уравнения (1), непрерывное вместе с
производной 
в замкнутой области 
и удовлетворяющее граничным условиям (4) и 
.
Решение этой задачи задается формулой :
где
– функция Грина этой задачи для уравнения
. (28)
Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:
где
;
;
– функция
Бесселя. Функции 
, 
называются функциями Эйри и удовлетворяют
уравнению 
. Основные
свойства функций 
и 
, их оценки
вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7].
Список литературы
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.
Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.
Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.
Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.
Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.skgtu.ru/
Дата добавления: 02.09.2009
