Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и
центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) 
=(x),
то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны
моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам
а координаты
центра масс 
и 
— по формулам
где l— масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1) Всюду в задачах, где плотность не
указана, предполагается, что кривая однородна и =1.
Имеем: 
Следовательно,
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
Имеем: 
Отсюда получаем:
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс
полуокружности 
Вследствие
симметрии 
. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера,
площадь поверхности которой равна 
, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем 
Отсюда 
, т.е. центр масс C имеет координаты C
.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4.
Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой 
(м/с). Найти путь,
пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
Так как путь,
пройденный телом со скоростью 
(t)
за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом
то имеем:
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.monax.ru/
Дата добавления: 27.11.2004
